TP sur la flexion déviée d'une poutre

Résumé du document

Au cours de ce TP, nous allons étudier la flexion d'une poutre à section symétrique en I en configuration encastrée-libre. À son extrémité libre est fixée une charge équivalente à une force concentrée. Un ensemble de jauges de déformations placées à différents endroits sur la poutre permettent de déterminer les déformations axiales de la structure, ce qui permet une approche en résistance, si l'on suppose le comportement du matériau linéairement élastique. Ces mesures seront comparées aux résultats théoriques, pour différentes positions angulaires de la poutre, celles-ci étant mobiles autour de son axe. On fera également la mesure du déplacement vertical (flèche) dans le cadre d'une approche en rigidité. Nous verrons également que ce TP fait apparaitre la notion de flexion déviée, qui est la combinaison d'une traction et d'une compression.
Dans un premier temps, nous effectuerons une modélisation analytique afin de déterminer les moments quadratiques Ioy et Ioz selon les axes principaux d'inertie de la section droite, ainsi que les directions principales. Puis pour un point quelconque de la poutre et une position angulaire quelconque de celle-ci, on déterminera l'expression de la déformation εx.
Dans un second temps nous réaliserons les essais expérimentaux et nous confronterons les résultats à la théorie (...)

Dans un premier temps, on établit les relations théoriques qui caractérisent cette poutre encastrée à une seule extrémité. On s'intéresse aux grandeurs caractéristiques d'une poutre telles que les moments quadratiques d'inertie, module d'Young et Moment de flexion.
Détermination de la matrice d'inertie de la poutre
Pour simplifier le calcul on utilise le théorème d'Huygens qui permet de ramener le problème au centre d'inertie. De plus, on divise la poutre en trois parties fictives, 2 parties symétriques horizontales et la partie verticale.
Ainsi on en déduit :
Poutre 1 : h1 = e = 2mm, l1 = 20mm
Poutre 2 : h2 = h ? 2e = 16mm
On cherche tout d'abord le moment quadratique au point O selon l'axe y, puis celui au point O selon l'axe z (...)

Extraits

[...] Du fait de la rotation de la poutre il intervient donc un angle θ. La force qui s'exerce sur la poutre s'écrit : On rappel que et σ = D'où Ainsi la déformation devient : Pour plus de finition et pour pouvoir comparer ce modèle avec les données expérimentales, on défini les valeurs de d1 et d2 suivante : Pour les jauges et 7 on prend d1=d2=20mm car elles sont placées sur les extrémités de la poutre par rapport à l'axe principal. [...]

[...] Sur la courbe théorique on observe une flèche maximale aux alentours de 45°. Mais ce qui est très surprenant c'est qu'il y a une absence de flèche à formant ainsi un angle de par rapport à la flèche maximale. Définitions Le plan appelé plan neutre est le plan sur lequel la contrainte s'annule (visible ici sur la jauge 7). La flexion déviée est présente lorsque les charges ne sont pas appliquées dans un plan de symétrie de la poutre. On peut ici parler de flexion déviée car on a vu précédemment que la flexion peut être décomposé en deux flexion simple (dans notre cas : une selon y et l'autre selon z). [...]

[...] Détermination de la matrice d'inertie de la poutre Pour simplifier le calcul on utilise le théorème d'Huygens qui permet de ramener le problème au centre d'inertie. De plus, on divise la poutre en trois parties fictives parties symétriques horizontales et la partie verticale. Ainsi on en déduit : Poutre 1 : h1 = e = 2mm, l1 = 20mm Poutre 2 : h2 = h 2e = 16mm On cherche tout d'abord le moment quadratique au point O selon l'axe puis celui au point O selon l'axe z. [...]

[...] Ainsi la flexion déviée se caractérise par la présence de plusieurs moments quadratiques autours de plusieurs axes. Figure 2 Flexion déviée pour une poutre symétrique Application possible de ces mesures Lors du calcul théorique de la flèche, nous avons remarqué que la flèche dépend du module d'Young du matériau. Il est donc possible de déterminer le module d'Young d'un matériau connaissant sa flèche. Dans notre cas, le déplacement est maximum pour une position angulaire de 90°. Ainsi, à l'aide du comparateur placé à l'extrémité libre, nous pouvons mesurer ce déplacement maximum (on se place à cet angle car il permet une lecture plus aisé étant donné qu'il s'agit du déplacement maximum). [...]

[...] Comme Mfz est constant (flexion pure), il s'agit d'une courbe de degré 2. C'est donc une parabole, localement proche d'un cercle si le rayon est grand, ce qui est le cas pour les poutres initialement droites. La détermination des constantes d'intégration et se fait par la prise en compte des conditions aux limites : déplacements imposés, courbures imposées, tangente imposées. Ici : Pour x=0 y'=y=0 y=0=B et y'=0=A On peut alors tracer la flèche théorique en fonction de l'angle et comparer les résultats à l'expérience. [...]