Les contraintes peuvent être visualisées de manière qualitative par photoélasticimétrie. La photoélasticimétrie est une méthode expérimentale permettant de visualiser les contraintes existant à l'intérieur d'un solide grâce à sa photoélasticité.
C'est une méthode principalement optique se basant sur la biréfringence acquise par les matériaux soumis à des contraintes, la biréfringence étant la propriété physique d'un matériau dans lequel la lumière se propage de façon anisotrope. Dans un milieu biréfringent, l'indice de réfraction n'est pas unique, il dépend des directions de propagation et de polarisation du rayon lumineux.
Cette biréfringence peut être étudiée en analysant la façon dont la polarisation de la lumière est transformée après le passage à travers le matériau. Par exemple, une onde lumineuse polarisée rectilignement pourra ressortir polarisée elliptiquement (la manifestation la plus simple de polarisation est celle d'une onde plane, qui est une bonne approximation de la plupart des ondes lumineuses.
Comme toute onde électromagnétique qui se propage, elle est constituée d'un champ électrique et d'un champ magnétique tous deux perpendiculaires à la direction de propagation (...)
Sommaire
I) Principe des puissances virtuelles
A. Énonce du principe des puissances virtuelles 1. Définition préalable 2. Puissance virtuelle des efforts intérieurs B. Conséquences 1. Equation d'équilibre et conditions aux limites 2. Théorème de l'énergie cinétique
II) Tenseur des contraintes
A. Notions générales 1. Vecteur contrainte, tenseur des contraintes 2. Contraintes principales - Invariants B. Représentation de Mohr 1. Principe de la représentation de Mohr 2. Domaine engendré par l'extrémité du vecteur contrainte dans le plan de Mohr 3. Quelques conséquences pratiques 4. Etats de contraintes remarquables C. Espace des contraintes principales D. Torseur des efforts résultants E. Visualisation des contraintes
III) Etude des déformations
A. Grandes déformations 1. Description de la déformation 2. Le tenseur des déformations B. Petites déformations 1. Hypothèse des petites déformations 2. Tenseur linéarisé des déformations 3. Dualité déformations-taux de déformation C. Compatibilité des déformations 1. Calcul de la rotation 2. Calcul du déplacement 3. Mise en forme des équations de comptabilité 4. Cas particuliers de déformation 5. Tableau d'intégration D. Mesure des déformations 1. Mesure par jauge à fil 2. Mesures de champs de déplacement par corrélation d'images
IV) Thermoélasticité linéaire
A. Cadre géométrique, rappel B. Cadre mécanique 1. Introduction 2. Conditions aux limites C. Thermodynamique des milieux continus 1. Conservation de l'énergie 2. Inégalité de Clausius Duhem D. Lois de comportement 1. La théorie thermoélastique : énergie libre de Helmholtz 2. Energie libre de Gibbs 3. Cas particulier : élasticité isotrope isotherme E. Problèmes en thermoélasticité isotrope 1. Méthode des déplacements 2. Méthodes des contraintes 3. Exemples F. Théorèmes généraux 1. Théorème du travail 2. Théorème de réciprocité ou théorème de Maxwell-Betti
V) Problèmes plans en élasticité
A. Déformations planes B. Contraintes planes C. Récapitulatif D. Exemple et complément en déformations planes 1. Coordonnées cylindriques 2. Exemple
VI) Le problème de Saint Venant
A. Introduction B. Traction et flexion pure 1. Répartition et flexion pure 2. Cas particulier de la traction 3. Cas particulier de la flexion pure C. Torsion 1. Section circulaire ou annulaire 2. Théorie générale de la torsion 3. Sections particulières
VII) Approches vibrationnelles en thermoélasticité linearisée
A. Théorèmes extrémaux en thermoélasticité linéaire 1. Notions fondamentales 2. Théorèmes extrémaux B. Principe de la méthode des éléments finis C. Application des méthodes variationnelles
Bibliographie
I) Principe des puissances virtuelles
A. Énonce du principe des puissances virtuelles 1. Définition préalable 2. Puissance virtuelle des efforts intérieurs B. Conséquences 1. Equation d'équilibre et conditions aux limites 2. Théorème de l'énergie cinétique
II) Tenseur des contraintes
A. Notions générales 1. Vecteur contrainte, tenseur des contraintes 2. Contraintes principales - Invariants B. Représentation de Mohr 1. Principe de la représentation de Mohr 2. Domaine engendré par l'extrémité du vecteur contrainte dans le plan de Mohr 3. Quelques conséquences pratiques 4. Etats de contraintes remarquables C. Espace des contraintes principales D. Torseur des efforts résultants E. Visualisation des contraintes
III) Etude des déformations
A. Grandes déformations 1. Description de la déformation 2. Le tenseur des déformations B. Petites déformations 1. Hypothèse des petites déformations 2. Tenseur linéarisé des déformations 3. Dualité déformations-taux de déformation C. Compatibilité des déformations 1. Calcul de la rotation 2. Calcul du déplacement 3. Mise en forme des équations de comptabilité 4. Cas particuliers de déformation 5. Tableau d'intégration D. Mesure des déformations 1. Mesure par jauge à fil 2. Mesures de champs de déplacement par corrélation d'images
IV) Thermoélasticité linéaire
A. Cadre géométrique, rappel B. Cadre mécanique 1. Introduction 2. Conditions aux limites C. Thermodynamique des milieux continus 1. Conservation de l'énergie 2. Inégalité de Clausius Duhem D. Lois de comportement 1. La théorie thermoélastique : énergie libre de Helmholtz 2. Energie libre de Gibbs 3. Cas particulier : élasticité isotrope isotherme E. Problèmes en thermoélasticité isotrope 1. Méthode des déplacements 2. Méthodes des contraintes 3. Exemples F. Théorèmes généraux 1. Théorème du travail 2. Théorème de réciprocité ou théorème de Maxwell-Betti
V) Problèmes plans en élasticité
A. Déformations planes B. Contraintes planes C. Récapitulatif D. Exemple et complément en déformations planes 1. Coordonnées cylindriques 2. Exemple
VI) Le problème de Saint Venant
A. Introduction B. Traction et flexion pure 1. Répartition et flexion pure 2. Cas particulier de la traction 3. Cas particulier de la flexion pure C. Torsion 1. Section circulaire ou annulaire 2. Théorie générale de la torsion 3. Sections particulières
VII) Approches vibrationnelles en thermoélasticité linearisée
A. Théorèmes extrémaux en thermoélasticité linéaire 1. Notions fondamentales 2. Théorèmes extrémaux B. Principe de la méthode des éléments finis C. Application des méthodes variationnelles
Bibliographie
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Extraits
[...] ( 6.46 ) En coordonn´ees sont : 0 cylindriques, les composantes du tenseur des contraintes µαr µαr 0 = µαr (~eθ ~e1 + ~e1 ~eθ ) ( 6.47 ) e1 ) θ I0 doit ˆetre calcul´e pour chaque type de section circulaire : Section sous forme de disque circulaire : I0 = πD ( 6.48 ) Cas des tubes minces : I0 = πD3 e 4 ( 6.49 ) eorie erale de la torsion Le probl`eme 4 est maintenant ´etudi´e dans le cas d'une section quelconque. Afin d'obtenir R1 = M2 = M3 = 0 en consid´erant les ´equations 6.6 et 6.9 il apparaˆıt qu'il suffit de choisir σ11 = 0 alors que σ12 et σ13 ne peuvent pas ˆetre nulles. [...]
[...] Efforts int´erieurs : Champ de contrainte σ, d'ordre sym´etrique, d´efini sur D , continu et continˆ ument d´erivable par morceau. Efforts ext´erieurs : Champ de forces volumique d´efini sur D continu par morceaux 45 Champ de forces surfacique , d´efini sur , continu par morceaux ; Les efforts int´erieurs et ext´erieurs sont li´es par les ´equations de la statique. Equations de la statique : ~ ~ En tout point du domaine D : div σ + f = 0 ~ ~ En tout point de la surface de D : + T = 0 ~ = En tout point de la ligne de discontinuit´es Σ : σ N Avec d´esignant la normale ext´erieure en un point de . [...]
[...] Le cylindre est bloqu´e entre deux plaques = 0 et x = et la liaison entre le cylindre et les deux plaques se fait sans frottement. On se propose de d´eterminer 73 dans le cylindre le tenseur des contraintes σ, le tenseur des d´eformations ainsi que le torseur des efforts exerc´es par le cylindre sur la paroi en x = h : Etat initial : σ 0 = θ = θ0 Conditions aux limites : En x = h ud1 = T2d = T30 = 0 En x = 0 ud1 = T2d = T30 = 0 Le champ de d´eformation thermique s'´ecrit : th = ατ I Ces d´eformations v´erifient les ´equations de compatibilit´e Il faut que le d´eplacement trouv´e v´erifie les conditions aux limites sur S0 et Sh . [...]
[...] C'est une m´ethode principalement optique se basant sur la bir´efringence acquise par les mat´eriaux soumis des contraintes, la bir´efringence ´etant la propri´et´e physique d'un mat´eriau dans lequel la lumi`ere se propage de fa¸con anisotrope. Dans un milieu bir´efringent, l'indice de r´efraction n'est pas unique, il d´epend des directions de propagation et de polarisation du rayon lumineux. Cette bir´efringence peut ˆetre ´etudi´ee en analysant la fa¸con dont la polarisation de la lumi`ere est transform´ee apr`es le passage travers le mat´eriau. Par exemple, une onde lumineuse polaris´ee rectilignement pourra ressortir polaris´ee elliptiquement (la manifestation la plus simple de polarisation est celle d'une onde plane, qui est une bonne approximation de la plupart des ondes lumineuses. [...]
