Les filtres échantillonnés

Résumé du document

L'intervalle de temps entre deux prises d'échantillons est la période d'échantillonnage (notée T dans ce texte), inverse de la fréquence d'échantillonnage.
Les échantillons sont numérotés à partir d'une origine arbitraire et seront notés x (n) où n est le numéro de l'échantillon (...)

Extraits

[...] i Réponse à une séquence quelconque Elle s'exprime par une relation simple entre les échantillons de cette séquence d'entrée et ceux de la réponse impulsionnelle (relation de convolution discrète) : Dans ces relations, est la réponse impulsionnelle. La démonstration de cette relation repose sur la linéarité et l'indépendance temporelle : i.1 La séquence d'entrée est une combinaison linéaire de séquence impulsion unité. Chacune de ces séquences est décalée et multipliée par une constante : Dans cette expression, est la séquence impulsion unité décalée de p échantillons. [...]

[...] Il est donc facile d'écrire ule gain complexe si on connaît la fonction de transfert en z. ii.3 Réponse à une séquence d'entrée harmonique si la séquence d'entrée est (échantillonnage d'une fonction harmonique de pulsation : ) on a : La sortie est également une séquence de même pulsation et la valeur du gain complexe pour la pulsation donne l'amplitude et la phase de la sortie par rapport à celles de l'entrée (d'où le nom de gain complexe). ii.4 périodicité et symétries Puisque c'est une transformée de Fourier, le gain complexe présente les propriétés de périodicité (période ) et de symétrie (partie réelle paire, partie imaginaire impaire) rencontrées plus haut. [...]

[...] Ils seront représentés par une séquence de nombres, plutôt que par une fonction du temps comme dans le cas des dispositifs à temps continu. Ces séquences résultent souvent de la prise d'échantillons à des instants réguliers d'un signal continu. L'entrée des systèmes échantillonnés est attaquée par une séquence, ils délivrent ne séquence à la sortie : I Introduction L'intervalle de temps entre deux prises d'échantillons est la période d'échantillonnage (notée T dans ce texte), inverse de la fréquence d'échantillonnage. Les échantillons sont numérotés à partir d'une origine arbitraire et seront notés x où n est le numéro de l'échantillon. [...]

[...] iii exemples iii.1 Intégration par la méthode des trapèzes On connaît la fonction de transfert en elle-même déduite facilement de l'équation aux différences : . En faisant le changement de variable on obtient alors : Il est commode de poser , ce qui permet d'écrire ce résultat sous la forme : La phase de ce gain est constante et égale à et son module tend vers l'infini à la fréquence nulle. iii.2 Moyenne sur 5 échantillons On a également déterminé la fonction de transfert, à partir de la réponse impulsionnelle : ; On peut donc écrire : en posant comme ci-dessus . [...]

[...] iii Matérialisation Tout filtre défini par une équation aux différences peut être matérialisé avec un nombre fini d'opérations arithmétiques et de retards. La figure montre le cas où il y a deux valeurs non nulles pour lescoefficients et une valeur non nulle pour les coefficients iv Trouver la réponse impulsionnelle à partir de l'équation aux différences iv.1 Principe Si l'équation aux différences n'est pas une vraie équation récursive, on a vu qu'elle donne directement les valeurs des échantillons de la réponse impulsionnelle (finie). [...]