Algèbre binaire : écriture et simplification des fonctions logiques

Résumé du document

Variables d'entrée

Les variables d'entrée sont celles sur lesquelles on peut agir directement. Ce sont des variables logiques indépendantes. Identifier les variables d'entrée pour la synthèse d'un système logique est primordial (...)

Extraits

[...] 05/11/1911:32 < number > img1177 Algèbre binaire Écriture et simplification des fonctions logique figure7 Algèbre de Boole 05/11/1911:32 < number > 1854 : Georges Boole propose une algèbre (autodidacte poussé par De Morgan, enseignant à 16 ans) Propositions vraie ou fausses et opérateurs possibles Algèbre de Boole (traces dans l'archéologie chinoise autour de l'an 1000) Yin – Yang yin-yang Étude des systèmes binaires : Possédant deux états s'excluant mutuellement C'est le cas des systèmes numériques (des sous ensembles : les circuits logiques) Boole Algèbre binaire 05/11/1911:32 < number > On se limite : Base de l'algèbre de Boole Propriétés indispensables aux systèmes logiques Définitions : États logiques : 0 et Vrai et Faux, H et L (purement symbolique) Georges et Marcel Variable logique : Symbole pouvant prendre comme valeur des états logiques Out . ) Fonction logique : Expression de variables et d'opérateurs ( f = not(a) . OR ) Éléments de base Variables d'entrée Les variables d'entrée sont celles sur lesquelles on peut agir directement. [...]

[...] b a b S est vrai si a OU b est vrai. S est vrai si a ET b sont vrais. S est vrai si a est faux a b s a b s a s Notes sur les tables de vérité 05/11/1911:32 < number > f fonction logique à N entrées sera représentée par : une table à 2N lignes ou un tableau à 2N cases a b c a bc Propriétés de ET,OU,NON Commutativité a+b = b+a a.b = b.a Associativité = a.(b.c) = (a.b).c Distributivité a.(b+c) = a.b+a.c a+(b.c) = 05/11/1911:32 < number > Idempotence a+a = a a.a = a Absorption a+a.b = a a.(a+b) = a Involution a = a On garde la hiérarchie classique est prioritaire sur a + (b.c) = a + b.c = + b). [...]

[...] Transformer les adjacences logiques en adjacences «géométriques». [...]

[...] NOR (No-OR ou NI) a b s = a b = a.b S est vrai si a OU b est faux. NAND (No-AND) Encore un opérateur : XOR 05/11/1911:32 < number > s = a b = a.b + a.b a b S est vrai si a OU b est vrai mais pas les deux. XOR (Ou-Exclusif) vaut 1 si a est différent de b Opérateur de différence (disjonction) Propriétés du XOR 05/11/1911:32 < number > XOR est associatif s = a b c . n vaut 1 si le nombre de variable à 1 est impaire. [...]

[...] Inverseur programmable : (le programme vaut 0 ou a 1 = a a 0 = a Propriétés Ecriture des équations logiques 05/11/1911:32 < number > Définitions : Apparition d'une variable = Lettre Produit de variables sous forme simple ou complémentées = Monôme Somme de monômes = Polynôme z = a + b.c.(d + Expression algébrique = a + b + c + + Développement = a + b + c + d . e Polynôme de 4 monômes de 1 et 2 lettres 05/11/19 < number > Formes canoniques 05/11/1911:32 < number > Première forme canonique ou forme normale disjonctive Deuxième forme canonique ou forme normale conjonctive Une fonction est sous forme canonique (ou normale) si chaque terme contient toutes les variables. L'écriture sous forme canonique est unique. Exemples : 05/11/19 < number > Formes canoniques 05/11/1911:32 < number > Si la fonction n'est pas sous forme normale i.e. [...]