Etudes dynamique et énergétique d'un solide en rotation

Résumé du document

Exercice de mécanique permettant de déterminer l'équation du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe de deux façons : par une étude dynamique puis par une étude énergétique.

Extraits

[...] Pré-Requis - Torseur cinétique d'un solide Dynamique en référentiel galiléen. Énergie mécanique d'un système conservatif. - DUT, BTS, Première année de Licence de Sciences Bac S SI avancé. Niveaux concernés ÉNONCÉ Soit une barre homogène de longueur de masse mobile dans le plan vertical (OXY) autour du point O ; son inclinaison par rapport à la verticale OX descendante est définie par l'abscisse angulaire θ. [...]

[...] On écarte la barre de sa position d'équilibre puis on l'abandonne sans vitesse initiale. Le mouvement de la barre est du à son seul poids si on néglige tout frottement. Le référentiel terrestre est supposé galiléen Grandeurs cinétiques du centre d'inertie G de la barre Déterminer le vecteur vitesse vG puis sa résultante cinétique p . Exprimer ces grandeurs en coordonnées cylindriques. [...]

[...] dt dt dLO (barre) Puisque v O = 0 est un point fixe), alors δ O (barre) = et le torseur dynamique de la barre au point dt O s'écrit : ma G [ TD ] = (barre) O dt Le principe fondamental de la dynamique s'écrit torsoriellement au point O fixe : Fext [ TD ] = Tactions mécaniques = extérieures O M O (Fext ) mg Les actions mécaniques à considérer ici sont l'action du poids dont le torseur au point O est : et M O ( R l'action de l'axe dont le torseur au point O est : 0 Donc, par identification des éléments de réduction du torseur dynamique et de ceux des actions mécaniques : ma G = mg + R dLO (barre) = M O ( dt Mécanique études dynamique et énergétique d'un oscillateur 3/4 Nous allons utiliser l'égalité sur les moments, relation appelée théorème du moment cinétique : dL O (barre) = M O ( dt 2 L d L Soit : θ e Z = mg sin θ e Z m 2 dt 3 2 L L C'est-à-dire ( eZ est un vecteur fixe) : m θ e Z = mg sin θ e Z 3g Donc : θ + sin θ = 0 2L Dans le cas des petits angles, sinθ θ et on obtient : 3g θ + θ=0 2L Il s'agit de l'équation du mouvement de la barre et on reconnaît l'équation différentielle d'un oscillateur non amorti du type : 3g θ + ω0 2θ = 0 en posant ω02 = 2L rt La solution de cette équation est du type : θ = Ce ; L'équation caractéristique s'écrit : r2 + ω02 = 0. Celle-ci admet 2 solutions complexes : r1 = ω0 et r2 = i ω0. Donc θ = C1 er 1t + C2 er 2 t soit encore : θ = A sin (ω0t + ϕ) A et ϕ étant des constantes dont les valeurs sont déterminées à partir des conditions du mouvement à t = 0. [...]

[...] Mécanique études dynamique et énergétique d'un oscillateur 1/4 CORRIGÉ 1. Grandeurs cinétiques du centre d'inertie G de la barre On étudie le mouvement d'un point du solide : celui du centre d'inertie G de la barre affecté de la masse m de la barre dans un référentiel galiléen. La barre évolue dans un plan : les coordonnées du centre d'inertie G de la barre sont dans la base dans la base L L eρ , eθ , e Z : OG ( ; 0 ; soit OG = eρ Attention : eρ est un vecteur tournant dOG L deρ dθ v On en déduit celles du vecteur vitesse de G : vG/R = = G/R dt 2 dθ dt θ eθ L Soit : vG/R = θ eθ . [...]

[...] Déterminer le moment M O ( du poids au point O. S Déterminer le torseur dynamique [ TD ] = de la barre au point O. δ (barre) O À partir du principe fondamental de la dynamique écrit torsoriellement, déterminer l'équation (différentielle) du mouvement de la barre dans le cas de faibles abscisses angulaires (sinθ θ) en utilisant le théorème du moment cinétique Indiquer la solution de l'équation du mouvement À partir de considérations énergétiques, montrer qu'il est possible de retrouver l'équation du mouvement de la barre. [...]