Analyse spectrale des signaux périodiques : les séries de Fournier

Résumé du document

Définition : On appelle série de Fourier trigonométrique toute série de fonction définie par : un(t)=an cos(nwt) + bn(sin(nwt) pour tout élément de N.

Si la fonction S existe alors elle est nécessairement 2II-périodique.
Les séries de Fourier permettent donc de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel, on utilise principalement les séries de Fourier dans le cas des signaux périodiques, cependant il est inexact de dire que les séries de Fourier ne peuvent être utilisées qu'en présence de signaux périodiques.

Extraits

[...] f 0 .t ) on a : k k Pour x1 ) , en comparant à la relation générale du développement en série de Fourier Une composante continue a0 Une harmonique 1 (fondamental) à f 0 1 avec a1 = et b1 = ©Signaux et systèmes avec Matlab M.OULOBLY Stéphane R. Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculer la série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On a tout d'abord pour la série en cosinus : Fig 1.1 - Spectre unilatéral et bilatéral de x1 ) A0 a0 6 A1 a12 b12 32 3.6056 b1 0 arctan 2.1588 123.6901 a1 On peut écrire : x1 ) 6 2. cos(2. . [...]

[...] f 0 .t e j10. . f 0 .t 0.5 e e j10. . f 0 .t e j10. . f 0 .t j . f 0 .t j . f 0 .t e j10. . f 0 .t e j10. . f 0 .t 0.25 e . e j10. .t e j10. .t e j10. . f 0 .t e j10. . [...]

[...] Une composante continue a0 Des harmoniques à f 0 et 3. f 0 , avec a1 et b1 à calculer, a3 b3 0.8 Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculer la série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On a tout d'abord pour la série en cosinus : A0 a0 4 A1 1.8 3 a12 b12 99 ©Signaux et systèmes avec Matlab M.OULOBLY Stéphane R A3 a3 b32 0.8 3 arctan b3 0.8 arctan 2 0 a3 On peu écrire : x2 ) 4 . [...]

[...] Cependant, cela n'est plus le cas lorsque le signal possède des discontinuités d'ordre 0. Il apparaît alors, à l'endroit de la discontinuité, des oscillations que l'on nomme sous le nom de phénomène de Gibbs. L'amplitude du dépassement du à ces oscillations est égale au de l'amplitude de la discontinuité. Fig. Illustration du phénomène de Gibbs 90 ©Signaux et systèmes avec Matlab M.OULOBLY Stéphane R. EXERCICES SF1 Considérant les 2 signaux suivants pour lesquels f 0 : x1 ) 6 2. cos(2. . f 0 .t ) 3. . [...]

[...] sin T 2 2 3 2 sin T T 2 3 T On vérifie que l'on a bien : 100 ©Signaux et systèmes avec Matlab M.OULOBLY Stéphane R. A1 2 a1 b12 2 1.8 1.047 arctan 0.9 3 Concernant les formes complexes qui nous permettent d'obtenir les spectres bilatéraux on a : Pour x1 ) 1 arctan b1 a1 x1 ) A0 A . f 0 .t A j . f 0 .t j . f 0 .t A0 0 e 2 A j . [...]