Algèbre linéaire : La structure d’espace vectoriel

Résumé du document

Il s'agit d'un cours de mathématiques ayant pour objet d'étude la structure d'espace vectoriel.
Ce cours clair et structuré en algèbre linéaire s'avèrera idéal pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en mathématiques, ingénierie, physique, chimie et bien entendu pour tout(e) autre intéressé(e).

Voici le plan :
I). Définition et représentation de Rn
II). Opérations dans Rn
III). Opérations dans un ensemble quelconque
A. Loi de groupe
B. Produit externe
IV). Un autre exemple d'espace vectoriel

Extraits

[...] De même, un « vecteur de l'espace » est un élément de R Opérations dans Rn Si u = xn ) et v = yn ) sont deux éléments de Rn , on appelle somme de u et v le n-uplet réel noté u + v défini par u + v = (x1 + y xn + yn B Si n , on ne sait pas additionner un n-uplet avec un m-uplet. Exemple 2– Là encore, ce vocabulaire est compatible avec celui du lycée. [...]

[...] Autrement dit, étant donnés deux vecteurs, on obtient le même résultat en additionnant l'un à l'autre ou l'autre à l'un ; 2 On dit une application de E × E dans E la loi admet un élément neutre noté 0 : c'est un élément de E tel que, pour tout élément u ed E on a u + 0 = u. Autrement dit, additionner 0 est une opération neutre qui ne modifie pas l'élément à qui on l'additionne ; tout élément de E admet un opposé3 pour la loi : pour tout élément u de il existe un élément v de E tel que u + v = 0. On note −u l'élement v ; Exemple 6– L'élément neutre de l'addition sur Rn est le n-uplet dont toutes les coordonnées sont nulles : ( 0). [...]

[...] Les éléments d'un espace vectoriels sont appelés vecteurs de cet espace. Théorème 1– L'ensemble Rn muni des addition et produit externe définis § 2 est un espace vectoriel sur R Un autre exemple d'espace vectoriel On note F l'ensemble des applications de R dans R (c'est-à-dire des fonctions réelles de la variable réelle dont le domaine de dfinition est R). On vérifie aisément qu'on peut le munir d'une loi de groupe en associant à tous éléments f et g de F l'application notée f + g et définie par : f : R → R x 7→ f + g(x). [...]

[...] Dans R on a ( + (−1, −2, −3, −4, −5) = ( 0). Si λ est un réel et u = xn ) un n-uplet réel on appelle produit externe de λ par u le n-uplet réel noté λu et défini par λu = (λx λxn Exemple 4– Ce vocabulaire est toujours compatible avec celui du lycée. Multiplier un réel par un vecteur du plan ou de l'espace, c'est multiplier toutes les coordonnées de ce vecteur par ce réel. Exemple 5– Dans R on a 30) = ( 60). [...]

[...] La suite des nombres réels x x xn est le n-uplet réel noté x xn Les nombres x x xn sont appelées les coordonnées du nuplet réel x xn On dit que les n-uplets réel x xn ) et y yn ) sont égaux si on a toute les égalités x1 = y x2 = y xn = yn . B Si n , un n-uplet réel n'est jamais égal à un m-uplet réel. Exemple 1– Souvenir des cours de lycée. [...]