Algèbre linéaire : Résolution de système par la méthode de Gauss

Résumé du document

Il s'agit d'un cours de mathématiques ayant pour objet d'étude la résolution de système par la méthode de Gauss.
Ce cours clair, exhaustif et structuré en algèbre linéaire s'avèrera idéal pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en mathématiques, ingénierie, physique, chimie et bien entendu tout(e) autre intéressé(e).

Extraits

[...] Département de mathématiques L1S2 : physique – chimie Année 2007–2008 Algèbre linéaire Cours magistral no 13 (annexe) b Résolution de système par la méthode de Gauss c Pour résoudre un système d'équations lin‘éaires à n équations et p inconnues :   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1p xp = b1       a x + a x + · · · + a2p xp = b2    . [...]

[...] e = B un système linéaire échelonné, où A e ∈ Matnp est une maProposition 1– Soit AX trice en échelons. Le système admet des solutions si et seulement si les coefficients de B de e sont nuls. Si le sytème a des même numéro de ligne que les lignes non principales de A solutions, il en a une seule ou une infinité. [...]

[...] Exemple 2– Résolvons le système   −7x + y + 6z = 8     −7x − 3y + z = 7      −9x + y + 7z = −4. Par les opérations 1 L1 ← − L L2 ← − L L3 ← − L ce système est équivalent à    x− y− z = −        x + y − z = −1         x − y − z = Par les opérations L2 ← L2 − L1 L3 ← L3 − L ce système est équivalent à    x− y− z = −                 Par les opérations 7 L2 ← L L L3 ← ce système est équivalent à    x− y− z = −               5   y + z = Par l'opération L3 ← L3 − L2 ce système est équivalent à    x− y− z = −                 Par l'opération L3 ← 45 L3 e système est équivalent à    x− y− z = −               199   Par les opérations 6 L1 ← L1 + L L2 ← L2 − L ce système est équivalent à   x − y =       99  y =−    2     199   Enfin, par l'opération L1 ← L1 + 17 L ce système est équivalent à    x                 =− = y Exemple 3– On résoud le système   3x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 5     3x1 + 5x2 + 2x3 + x4 = 6      3x + 5x + 4x + 9x = Par les opérations L2 ← L2 − L1 L3 ← L3 − L1 ce système est équivalent à   3x + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 5    1  3x2 − x3 − x4 = 1      3x2 + x3 + 7x4 = 5 Par l'opération L3 ← L3 − L ce système est équivalent à   3x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 5     3x2 − x3 − x4 = 1      2x3 + 8x4 = 4 Par les opérations 1 L1 ← L L2 ← L L3 ← L ce système est équivalent à      x1 + 3 x2 + x3 + 3 x4 = 3       x − x − x =       x3 + 4x4 = Ce système est échelonné et n'a que des lignes principales. [...]

[...] Par les opérations L3 ← L3 − L2 L4 ← L4 − L1 ce système est équivalent à   3x1 + 2x2 + 3x3 = 0       3x2 − x3 = 1     2x3 = 4      2x3 = Par l'opération L4 → L4 − L3 ce système est équivalent à   3x1 + 2x2 + 3x3 = 0       3x2 − x3 = 1     2x3 = 4      0 = 1. Ce système n'a donc pas de solution. [...]

[...]  0  0  0 Remarque 1– Pour une matrice carrée, on vérifie qu'une matrice échelonnée est triangulaire supérieure et que si sa dernière ligne n'est pas nulle alors tous ses coefficients diagonaux valent 1. Les lignes non nulles d'une matrice échelonnées s'appelent ses lignes principales. Puisqu'on a ramené notre système d'équations à une équation de la forme e AX e une matrice échelonnée à n lignes et p colonnes et X un vecteur colonne à p avec A lignes, la résolution du système s'obtient à l'aide de la proposition suivante . [...]