Algèbre linéaire : Les déterminants (modification des lignes ou colonnes d’une matrice)

Résumé du document

Il s'agit d'un cours de mathématiques ayant pour objet d'étude les déterminants à travers la modification des lignes ou des colonnes d'une matrice.
Ce cours clair et structuré en algèbre linéaire s'avèrera idéal pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en mathématiques, ingénierie, physique, chimie et bien entendu pour tout(e) autre intéressé(e).

Voici le plan :
I). Transposition
II). Opérations élémentaires sur les lignes
III). Opérations élémentaires sur les colonnes
IV). Matrices élémentaires et matrices inversibles
V). Calcul de l'inverse d'une matrice carrée

Extraits

[...] Si la matrice échelonnée déduite de A a des lignes nulles, la matrice A n'est pas inversible. Sinon, la matrice A est inversible et son inverse est obtenu en appliquant des opérations élémentaires à la matrice super augmentée transformant la matrice A en la matrice identité. transformations élémentaires −−−−−−−−−−−−−−−−→ In A− A In −−−−−−−−− sur les lignes Remarque 5– Au passage, on voit qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est produit de matrices élémentaires, c'est à dire de la forme Op(I). [...]

[...] Autrement dit, on cherche s'il existe une matrice B = (xij )1≤i,j≤n telle que AB = In . Cela revien à dire que chaque colonne du produit AB doit être égale à la colonne de In de même indice. Autrement dit, on doit résoudre les n systèmes linéaires              x1n  0  x11  1  x21  0                          x  0  x  0  x  1  21     22     2n                 x3n  0  x31  0  x32  0          A  . [...]

[...] Département de mathématiques L1S2 : physique – chimie Année 2007–2008 Algèbre linéaire Cours magistral no 14 b Chapitre 7 – Déterminants c Modification des lignes ou colonnes d'une matrice Transposition Définition 9– Soit A = (aij )1≤i≤n une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K. 1≤j≤p La matrice transposée de A est la matrice (bij ) 1≤i≤p , à p lignes et n colonnes telle que 1≤j≤n bij = aji ∀i ∈ { ∀i ∈ { n}. [...]

[...]   .   .   .   .   .   .   .   . [...]

[...] Autrement dit, une opération élémentaire sur une ligne de A s'obtient en faisant le produit de la matrice identité à qui on appliqué l'opération élémentaire par A. BLa matrice Op(In ) est à gauche. a b c Exemple 16– Soit A = . La matrice obtenue en échangeant les deux lignes est d e f OpL1 ↔L2 = d e f . a b c On a OpL1 ↔L2 (I2 ) = et on vérifie bien que a b c d e f = d e f a b c Si λ ∈ la matrice obtenue en ajoutant λ fois la première ligne à la deuxième est a b c OpL2 ←L2 +λL1 = . [...]