Les notions de processus et champs stochastiques

Résumé du document

Il s'agit d'un cours de mathématiques ayant pour objet d'étude les notions de processus et de champs stochastiques.
Ce cours clair, exhaustif et très structuré sur les méthodes probabilistes et les modèles stochastiques s'avèrera idéal pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en mathématiques, physique, ingénierie, et bien entendu tout(e) autre intéressé(e).

Voici le plan :
- Déterminisme et hasard
- Les mathématiques du hasard : apparition et développement
- Condorcet et les assurances maritimes
- Information, statistiques et probabilités
- Le hasard imité : nombres au hasard, ordinateurs et théorie de l'information
- Espérance conditionnelle
- Tribu engendrée par une famille de sous-tribus
- Tribu engendrée par une variable aléatoire
- Tribu engendrée par une famille de variables aléatoires
- Espérance conditionnelle par rapport à une variable aléatoire
- Conditionnement par une v.a.r.
- Le cas gaussien
- Régression linéaire et espérance conditionnelle
- Généralités sur les processus
- Trajectoires
- Filtrations
- Temps d'arrêt
- Exemples de temps d'arrêt
- Différentes façons de considérer un processus stochastique
- Continuité
- Processus du second ordre
- Processus vectoriels du second ordre
- Le processus du mouvement brownien de Wiener-Levy
- Processus de Poisson
- Processus Gaussiens
- Propriétés élémentaires du mouvement brownien réel
- Propriété de Markov forte
- Processus stationnaires
- Représentation spectrale
- Théorème de Bochner
- Mesures stochastiques orthogonales
- Théorème de Kotelnikov-Shannon
- Distributions aléatoires et Bruit Blanc
- Bruit Blanc d'intensité D
- Filtrage linéaire des processus stationnaires
- L'oscillateur harmonique excité par un bruit blanc
- Processus de Markov
- Un exemple : le processus de Wiener
- Processus de Markov et semi-groupe
- Martingale associée
- Propriété de Markov et mémoire

Extraits

[...] Si, en outre, l'entree X est un processus gaussien, alors la reponse Y est aussi un processus gaussien. Dans ce cas, la reponse est entierement caracterisee par sa moyenne : 0 et par sa densite spectrale de puissance L'oscillateur harmonique excite par un bruit blanc Soit un oscillateur harmonique de pulsation propre 0 > 0 et amortissement critique 0 [...]

[...] 66 Pour tout t 2 IR xe, L'application t : IR Cl de nie par 7 eit est dans LC2l mX On peut donc de nir, avec les R notations precedentes, I = eit(d). Theoreme Soit X un processus continu en m.q., stationnaire au second ordre et centre. Il existe alors une mesure stochastique orthogonale centree X telle que Z X = eitX 8t 2 IR: La mesure structurelle associee a X est mX , la mesure spectrale de puissance de X . [...]

[...] On veri e aisement que le processus B a valeurs dans IRd ainsi de ni est un processus gaussien, centre, de covariance C = min(s; ou Id est la matrice unite d-dimensionnelle Processus de Poisson Un processus de Poisson homogene d'intensite > 0 est un processus a accroissements independants, d'ensemble des temps espace des etats IN, tel que X = 0 et pour tous 0 s [...]

[...] Propriete de Markov : pour tout u le processus B u de ni par B = B + B est encore un mouvement brownien standard issu de qui est en outre independant de la tribu Fu, c'est a dire du passe avant u Pour tout reel notons Tx = inf ft 0 : B = xg, avec la convention inf ; = +1. Alors : Tx [...]

[...] Cette notion d'information disponible est precisee par la notion de tribu engendree par une famille de variables aleatoires. Nous distinguerons deux concepts : { l'information fournie par les mesures, representee par la tribu engendree par les variables aleatoires mesures e ectuees par les capteurs, (les mesures elles-m^emes pouvant ^etre interpretees comme un codage de cette information parmi d'autres possibles) { La loi de probabilite des enregistrements, qui est la meilleure facon de rendre compte des valeurs numeriques obtenues en 13 contexte incertain. [...]