Modèles aléatoires de carnets d’ordres multi-agents et étude des processus de prix associés

Idriss d.

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Modèles aléatoires de carnets d’ordres multi-agents et étude des processus de prix associés

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Depuis le début du XXème siècle, les marchés financiers ont donné lieu à un nombre considérable de recherches, tant fondamentales qu'appliquées. Ainsi, depuis les années 1940, on a pu assister au développement des modèles analytiques permettant de mesurer les propriétés statistiques de ces marchés
(cf Mandelbrot, 2004). Cependant, il n'existe pas à ce jour de modèle explicatif satisfaisant permettant de lier le niveau microscopique (le comportement des investisseurs) avec le niveau macroscopique (les dynamiques de prix observées). Ce manque s'explique sans doute par le fait que les marchés financiers
sont des systèmes complexes au plus pur sens du terme : des milliers d'agents y sont en forte interaction, influencés dans leur prise de décision par le monde extérieur, mais aussi par les décisions prises par les autres agents.

Sommaire

Exemples de modèles de carnet d'ordre
1. Modèle d'un carnet d'ordre multi-agents fermé
2. Modèle simple d'un marché gouverné par des ordres à cours limité d'achat et de vente
3. Modèle d'un carnet d'ordre multi-agents dirigé par des ordres à cours limité et des ordres au prix du marché
Simulation des carnets d'ordre
1. L'effet de la proportion des traders rationnels sur l'évolution du prix
2. Effet du paramètre dmax de la stratégie rationnelle
3. Effet du paramètre D de la stratégie non rationnelle
4. Illustration graphique de la queue lourde de la distribution des prix
Exemple de distribution à queue lourde (fat tailed distribution)
1. Distribution stable de Lévy
2. Simulation d'une loi de Lévy
Approximation du modèle de carnet d'ordre simulé
1. Sur la théorie des valeurs extrêmes
2. Estimateur de Hill
3. Estimateur de Weissmann
4. Application au modèle de carnet d'ordre simulé
La Value at Risk (VaR)
1. La VaR gaussienne
2. La VaR historique
3. La VaR Monte Carlo
4. Application au modèle de carnet d'ordre simulé
Les limites du modèle classique de Black Scholes
1. Le modèle de Black et Scholes
2. Les stratégies de couverture
3. Confrontation du modèle de Black Scholes au modèle à queue lourde

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Extraits

[...] La VaR historique (ou non paramétrique). La VaR Monte-Carlo (simulation numérique). ˆ Ces méthodes correspondent à 3 approches diﬀérentes pour construire FP nL . Dans la première approche on suppose que les facteurs de risque sont gaussiens. Dans la deuxième approche on utilise ˆ les facteurs de risque historiques et la valeur de FP nL correspond à la distribution empirique du P nL. Enﬁn, nous utilisons les méthodes de simulation dans la troisième approche. [...]

[...] L'intérêt de cette manipulation va être justiﬁée dans la suite. Reprenons l'équation aux dérivées stochastiques de Black Scholes sous la probabilité initiale P : dSt = µSt dt + σSt dBt où (Bt ) est un mouvement brownien standard. Puisque St = St , alors d'après la formule d'intégration par partie, on a : dSt = St dt + dSt = St r)dt + σdBt ) = St σdWt où nous avons posé : Wt = Bt + σ t. [...]

[...] En eﬀet, Bakema et al a démontré que : dp(t) t1/4 ln(t/t0 quand t où t0 dépend du nombre de particules et de la longueur du tube G.T. Bakema, M.J. Howard, J.L. Cardy, Phys. Rev. E92 (1996) Figure 1.5 les A-particules (blanches) diﬀusent de gauche à droite tandis que les B-particules (noires) diﬀusent de droite à gauche. [...]

[...] La stratégie d'un agent dépend fortement des changements de prix sur le marché et des décisions des autres agents. Notons que ce marché est très volatile. En eﬀet, le raisonnement des Noise traders est le suivant : si le prix décroit fortement le jour il va probablement varier de la même manière le jour J + 1 à la hausse ou à la baisse. La densité de la loi du prix proposé par ces traders est représentée dans la ﬁgure 2.1 quand la dernière variation du prix est positive. [...]

[...] La VaR Monte-Carlo peut ainsi être vue comme une VaR historique avec des scénarios de risque simulés, et la VaR historique comme une VaR MonteCarlo à scénarios empirique. L'avantage de cette méthode c'est qu'on n'est pas limités par la taille de l'échantillon, comme dans la VaR historique, on peut prendre un échantillon aussi grand qu'on le souhaite de plus les facteurs de risque peuvent suivre un grand nombre de lois de probabilité. Elle possède néanmoins plusieurs inconvénients à savoir la mise en uvre qui peut être très lourde et le temps de calcul peut aussi être très long Application au modèle de carnet d'ordre simulé : On se place dans le cas d'un portefeuille composé d'un seul actif sous les conditions suivantes : Nombre total des agents N = 500 dont 20% sont rationnels Il y a 250 actions sur le marché, donc 250 vendeurs potentiels et 250 acheteurs potentiels. [...]

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