Evaluation des options par la méthode des portefeuilles d'arbitrage (Méthode Black et Scholes, 1973)

Résumé du document

L'idée de Black et Scholes est de construire un portefeuille d'actions et d'options de manière à faire disparaitre le risque.
Soit n1 le nombre d'options dans le portefeuille, n2 le nombre d'actions.
La valeur du portefeuille est : n1F+ n2S
La variation de valeur vaut : n1dF + n2dS

L'évolution de la valeur du portefeuille doit être sans risque, soit d'après [1] et [2] ...

Extraits

[...] pour ces conditions aux bornes donne la formule de Black et Scholes : : probabilité que la loi normale centrée réduite est une valeur inférieure ou égale à d. Les deux termes de la formule représentent la valeur actuelle de la recette (premier terme) moins la valeur actuelle de la dépense (deuxième terme). Le coefficient correspond à la probabilité d'exercice, en supposant, de manière fictive, que le titre support croit au taux sans risque. Le coefficient est plus difficile à interpréter : Le premier terme est la valeur actuelle de l'espérance de gain si l'option est exercée . [...]

[...] Le rendement se décompose en - gain en capital : - flux de dividendes liés aux actions acquises dans le portefeuille d'arbitrage : L'équation d'arbitrage est : soit, après réorganisation des termes : : représente, comme dans le modèle de base, l'espérance du taux de croissance du prix de l'action dans un univers risque neutre. Le taux d'actualisation sans risque n'est pas modifié, la partie droite de l'équation ne bouge pas. Bibliographie Baxter, M. & Rennie, A. (1997): Financial calculus: an introduction to derivative pricing, Cambridge University Press. Bjork, T. (1997): Arbitrage theory in continuous time, Oxford University Press. Cox, J. & Rubinstein, M. (1985): Option markets, Prentice Hall. Dana, R. [...]

[...] & Jeanblanc, M. Modèles financiers en temps continu, Economica. G. Huberman (1982): A simple approach to arbitrage pricing theory, Journal of Economic Theory Harrison, J.M. & S. Pliska (1981): "Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading" Stochastic Processes and their applications 215-260. Musiela, M. & Rutkowski, M. (1997): Martingale methods in financial modeling, Springer Verlag. S. [...]

[...] Évaluation des options par la méthode des portefeuilles d'arbitrage (Méthode Black et Scholes 1973) 1. Démonstration de la formule de base 1. Hypothèses Le prix de l'action (actif sous-jacent) suit un mouvement brownien géométrique : Il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage : deux placements sans risque doivent rapporter la même chose. Le taux sans risque, ,est constant quelle que soit l'échéance. Le prix, d'un actif dérivé est fonction de la valeur de l'actif sous- jacent S : Le lemme d'Itô s'applique : 2. [...]