Evaluation par arbitrage : première approche

Résumé du document

Considérons un marché à deux dates (le présent et le futur, la période vaut delta) et trois actifs :
- un actif sans risque, B(t), dont le rendement annuel est r,
- un actif sous jacent S(t) (une action par exemple) qui prend 2 valeurs différentes pour les 2 états du monde,
- un produit dérivé C(t), une option de prix d'exercice K sur l'actif S.

Pour une très petite période de temps, l'hypothèse de deux états du monde n'est pas irréaliste (voir les modèles binomiaux).

Extraits

[...] Musiela, M. & Rutkowski, M. (1997): Martingale methods in financial modeling, Springer Verlag. S. [...]

[...] Evaluation par arbitrage : première approche 1. Présentation et notation 1. Notations Le vecteur des prix de N actifs financiers (actions, options, contrats ) à la date t est noté L'incertitude est modélisée par l'apparition possible de K états de la nature mutuellement exclusifs : Les actifs financiers auront des prix et des revenus différents pour chaque état de la nature. La matrice des paiements D indique la valeur de revente et le revenu distribué pour chaque actif dans chaque état de la nature : dij : paiement de l'actif i dans l'état j. [...]

[...] Cherchons le prix d'arbitrage du call. La résolution des deux premières équations du système donne . Le prix du call est donc : 50 * 0,1818 = 9,09. Le portefeuille de réplication vaut maintenant , il offre un rendement identique à celui de l'actif sans risque de par période. L'opportunité d'arbitrage a bien disparu. La possibilité d'arbitrage vient du fait qu'il est possible de reproduire les paiements d'un actif à partir d'une combinaison des deux autres Marché complet et arbitrage Un marché est complet s'il permet de reproduire n'importe quel vecteur de paiements. [...]

[...] Il n'y a donc pas d'arbitrage possible puisque pour obtenir des paiements positifs ou nuls il faut investir un montant positif ou nul. Cette étape se généralise très facilement à une économie quelconque. 2e étape : démonstration de l'implication : si AOA alors il existe des constantes positives qui vérifient la relation du théorème. C'est une application du théorème de séparation des hyperplans (séparation des convexes). Soit l'ensemble des couples (investissement, paiements), M est un sous-espace linéaire (vectoriel) de . [...]

[...] Il est clair que ces valeurs ne vérifient pas la première équation 0,825 [...]