Le modèle LMM-SABR

Résumé du document

- A partir des prix de marché, on peut obtenir les volatilités implicites de Black-Scholes. Celle-ci n'est pas constante : phénomène du smile (le modèle de Black est mis en défaut).
- Dans la réalité, les négociations portent sur les volatilités de BS plutôt que sur des prix.
- Donc : il est important de pouvoir reproduire le smile à l'aide du modèle LMM-SABR (...)

Extraits

[...] Avantage: le LMM permet de simuler plusieurs forwards à la fois on peut pricer des produits qui dépendent de plusieurs taux, ou des options “path-dependent”. Inconvénients: 1-Il n'est pas efficace pour reproduire le smile de volatilité (volatilité déterministe). 2-On ne peut prendre en compte tous les prix de marché à la fois: il est calibré soit pour les caplets, soit pour les swaptions. Le modèle : < number > Le LMM ne reproduit pas le smile (simulation) lmm_no_smile 4 – Le modèle LMM-SABR Le modèle : Il tente de concilier les avantages des deux modèles précédents. [...]

[...] Il simule plusieurs forwards à la fois, de manière consistante, comme le LMM; ces forwards ont des volatiités stochastiques, comme dans le cadre du SABR. En outre, il peut être calibré pour les caplets et les swaptions. Sous une mesure de probabilité particulière (ayant P(t,Tk+1) pour numéraire), un taux forward et sa volatilité stochastique suivent: Le modèle: La fonction g est la partie déterministe de la volatilité du forward: si cette volatilité n'était pas stochastique, g serait la volatilité du forward et serait homogène dans le temps (même comportement pour tous les forwards). [...]

[...] Rappel: nous calibrons le LMM-SABR avec les paramètres du SABR pour chaque forward. On utilise généralement le SABR avec un bêta fixé à ou 75%. Nous avions pris 50% jusqu'à maintenant. Nous faisons des tests pour voir si ce paramètre bêta a une influence sur les résultats (et on recalibre à chaque fois l'ensemble des paramètres quand bêta varie). b – L'influence du paramètre bêta du SABR: sur les prix des caplets test_caplet_10_betatest_caplet_15_beta b – L'influence du paramètre bêta du SABR: sur les prix des swaptions test_swaption_55_betatest_swaption_1515_beta Seconde conclusion: Le paramètre bêta du SABR utilisé lors de la calibration a également une influence négligeable – Le travail futur Calibration des caplets et des swaptions à la fois (en cours). [...]

[...] Il faut revoir la calibration (on n'a pas utilisé les prix des swaptions). comparaison_swaption_1010 Swaption 15/15 : Autre swaption; même conclusion comparaison_swaption_ – Les tests On cherche à corriger le problème de niveau obtenu pour les courbes des swaptions. On fait d'abord des tests pour étudier l'influence des corrélations (qui n'ont pas été calibrées jusqu'ici) ainsi que l'influence du paramètre bêta (SABR) sur les volatilités des swaptions. comparaison_swaption_1010comparaison_swaption_1515 L'influence des corrélations: Nous allons faire varier les paramètres de la corrélation entre forwards(L1), entre volatilités des forwards et entre forwards et volatilités (L2 y L3). [...]

[...] < number > Les simulations: Les dates de l'algorithme d'Euler sont prises égales aux dates de fixing des forwards: à chaque étape, un forward “meurt”. On a besoin d'autant de matrices de stockage que de simulations: on utilise des “cubes” pour stocker les valeurs. La programmation est telle qu'on n'a pas de test à faire sur l'indice du forward (par rapport à celui du numéraire); en outre tous les forwards sont calculés simultanément (cf. matrice ci-contre). Image 3Image – Les premiers résultats SABR: on simule le taux swap forward et on utilise l'annuité du swap comme numéraire. [...]