Les différentes méthodes d'estimation de la "Value at Risk"

Résumé du document

La Value at risk est une mesure probabiliste de la perte possible sur un horizon donné .elle représente un niveau de perte, pour une position ou un portefeuille, qui ne sera dépassé durant une période qu'avec un certain degré de confiance.

Par définition, la VaR à horizon h et au seuil de probabilité p est un nombre VaR (h,p) tel que (...)

Extraits

[...] C'est une méthode non paramétrique. Méthode de Monte Carlo : La simulation de Monte Carlo est une méthode paramétrique ; son concept réside dans la simulation des trajectoires des différents facteurs de risque en tenant compte des corrélations entre ces facteurs. Une fois que la distribution de chaque facteur de risque est déterminée on pourra estimer la VaR. Pour générer des séries de rendements pour les actifs financiers, on effectue les étapes suivantes : Estimer les écarts types des séries ; Déterminer la matrice de variance covariance des rendements des actifs ; Décomposer la matrice de variance covariance selon la décomposition de Cholesky tel que : =A'A ; Générer des séries de nombres aléatoires indépendants et qui suivent une loi normale standard, notons les Y ; Déterminer les m séries selon leur structure de corrélation : =YA ; Déterminer des trajectoires des rendements simulés selon les modèles choisis ; Calculer la VaR suivant la méthode historique ; La méthode Bootstrap : C'est une méthode de simulation non-paramètrique. [...]

[...] Par exemple, un niveau de confiance de 99,5% si l'on désire ignorer les relatifs aux évènements les plus défavorables. Période de temps sur laquelle on désire mesurer la VaR. Il faut noter que la VaR n' pas la propriété de sous-additivité. En effet, si on considère deux actifs A et B pour lesquels on estime la VaR pour le même horizon et le même seuil de confiance, VaRh,A+B(p) VaRh,A(p) + VaRh,B(p) n'est pas toujours vérifié. Définition de la TailVaR : Appelée aussi Conditional Value at Risk (CVaR). [...]

[...] La TailVaR au seuil de confiance p se définit comme l'espérance du montant de perte au delà du seuil de VaR : TailVarh = Lh / Lh > VaRh(p)] Contrairement à la VaR la TailVaR présente l'avantage de satisfaire la propriété de sous-additivité. Ainsi, pour la détermination de la VaR le problème réside dans la modélisation de la distribution de la perte. Les différentes méthodes d'estimation de la VaR : Méthode analytique : La méthode suppose que Lh suive une loi paramétrique de fonction de répartition Fh connue d'avance, l'estimation se restreint dès lors à celle des paramètres de la loi en question. Fh=G Avec : G : la fonction de distribution d'une loi connue. paramètre d'échelle. b : paramètre de position. [...]

[...] Les équations et définissent la VaR et conduisent directement à son interprétation. L'équation indique que le montant de la perte de la période de durée h à venir sera supérieur à la VaR avec une probabilité p. L'équation exprime que la perte sera inférieure à la VaR avec une probabilité 1-p ; ainsi, la VaR peut être vue comme étant la valeur de la fonction inverse de la fonction de répartition généralisée du quantile 1-p. La VaR d'un portefeuille dépend de trois paramètres: Distribution des pertes et profits du portefeuille en fin de période. [...]

[...] Cela nécessite l'adaptation de la méthodologie de la VaR bancaire, calculée pour des horizons très courts sur un portefeuille de trading. Etant donné que le nombre d'obligations varie dans le temps, le prix du portefeuille aussi change même si les conditions de marché ne changent pas. Le prix d'une obligation peut être exprimé comme suit : Avec : Pi,h : prix du zéro-coupon de maturité τi-h et de coupon Ci r τi-h,h : taux de rendement entre τi-h et h h : horizon de temps fixé n : nombre de zéro-coupons Soit X Xn les facteurs de risques On a f≠g puisque le portefeuille contient des obligations Σ : ensemble des cash-flows survenus sur la période d'estimation En supposant que les fonctions g et f sont linéaires, on obtient la formule suivante : En conclusion, le calcul de la VaR nécessite l'estimation de la fonction de Σ et de ΔXk. [...]