Comment maximiser le rendement de son portefeuille en tenant compte du risque ?

Thèmes abordés

Rendement risque

Résumé du document

Ce document vous donne une approche du lien entre rendement et risque pour des actifs financiers.
Il associe le risque a la variance.
On commence par étudier les résumés d'échantillon (moyenne, variance, écart type...) pour ensuite les étudier sur un portefeuille. Plusieurs exemples sont donnés afin de faciliter la compréhension du sujet abordés.
Des exemples basique mais aussi des exemples concrets basés sur l'évolution d'actions de grand groupes américains.

La conclusion se base sur deux exemples concrets : l'un traitant de l'évolution du risque chez les actions d'une part et les obligations d'une part. Et l'autre sur différents actifs mais distribués selon une loi géographique.

Extraits

[...] Comment maximiser le rendement de son portefeuille en tenant compte du risque ? < number > Untitled-2.JPG PLAN 1 — Outils mathématiques, résumés de dispersions 2 — Elargissement à un portefeuille 3 — Applications à deux exemples pour conclure < number > Untitled-2.JPG Calcul de la moyenne pour 3 événements ayant la même probabilité Résultats Probabilité Evenement 12 < number > Untitled-2.JPG Formules de la moyenne < number > Untitled-2.JPG Propriétés fondamentales de l'espérance (moyenne) Evenement Probabilité Actif 1 Actif 2 Actif 3 A B C Rendements espérés < number > Untitled-2.JPG Calcul de la variance avec une distribution identique ou non Écart type = racine de la variance < number > Untitled-2.JPG Conditions de marché rendements Chute de pluie rendements actif 4 Actif 1 Actif 2 Actif 3 Actif 5 bonne forte 16 moyenne moyenne 10 mauvaise mauvaise 4 Moyenne des rendements variance Ecart type < number > Untitled-2.JPG Autre manière de calculer la variance Dans la formule de la variance on peut diviser par M ou Si M est fini le diviseur est Si M est très grand alors on divise par M < number > Untitled-2.JPG Semi-variance Dans le cas de l'exemple de l'actif on va avoir = 12 La semi-variance mesure le risque de baisse relatif au point de référence donné par le résultat attendu. [...]

[...] < number > Untitled-2.JPG MODIF < number > le coefficient de corrélation pour 1 et 2 est 24/√24 √24= 1  Les bons et mauvais résultats vont se produire en même temps. le coefficient de corrélation pour 1 et 3 est -36/√24 √54=  Les bons et mauvais résultats des actifs 1 et 3 tendent à se réaliser en opposition. < number > Untitled-2.JPG Variance dans le cas d'un portefeuille de deux actifs On a donc pour l'actif 2 et Et pour l'actif 1 et 5 (½ de chaque): = 24 < number > Untitled-2.JPG Variance dans le cas d'un portefeuille de trois actifs < number > Untitled-2.JPG FaUTE < number > Variance dans le cas d'un portefeuille de trois actifs (suite) On remplace les termes qu'on connaît, ce qui nous donne une formule plus claire. [...]

[...] Le deuxième terme est la covariance entre chaque actif multipliée par leur part investie respective. < number > Untitled-2.JPG FAUTE < number > Exemple pour un portefeuille à 3 actifs < number > Untitled-2.JPG Variance du portefeuille On additione les deux parties précédemment démontrées. Dans le cas où la covariance est égale à 0 cela signifie que les actifs sont inépendants donc obtient la formule précédente. < number > Untitled-2.JPG Puis dans le cas où les montants investis par action sont les mêmes, on remplace la fraction investie par 1/N. On a bien N termes. [...]

[...] On peut simplifier une dernière fois le calcul et cela donne finalement : < number > Untitled-2.JPG < number > Untitled-2.JPG < number > Constitution d'un portefeuille à l'aide d'obligations et d'actions Proportion d'actions Proportion d'obligations Rendements moyens Écart type < number > Untitled-2.JPG On remarque qu'en fonction des proportions choisies, il y a diffèrentes stratégies d'investissement. < number > Untitled-2.JPG Le choix des actions de marchés nationaux ou étrangers dans un portefeuille. Des études montrent que les actions des marchés US sont plus performantes en comparaison à celle des marchés mondiaux. Mais ces dernières peuvent apparaître comme étant un peu moins risquées. [...]

[...] < number > Untitled-2.JPG < number > Lorsque la covariance n'est pas nulle mais que les sommes investies sont les mêmes on peut aussi remplacer la fraction investie par < number > Untitled-2.JPG On factorise par 1/N le premier terme et par N-1/N le second. Pourquoi cela?  Il y a en effet covariances puisqu'il y a une somme de N termes et l'autre où k≠j, donc termes. < number > Untitled-2.JPG Pour simplifier l'équation, on va remplacer les sommes par des moyennes. En effet les sommes divisées par le nombre de termes sont des moyennes. [...]