La finance facile (thèorie du portefeuille)

Résumé du document

La possibilité d'épargner pour un ménage, une entreprise, de réaliser des placements

sur les marchés financiers conduit à soulever deux questions : quel est le montant d'épargne

souhaité ? quelle est sa structure ?

Bien que les réponses à ces deux questions ne soient pas nécessairement indépendantes

l'une de l'autre, il est assez naturel de les considérer isolément dans un premier temps.

La théorie du portefeuille développée à la suite des travaux pionniers de Harry Markowitz a pour objet de répondre à la seconde question : si l'on se

donne un montant à investir sur les marchés financiers, quelle doit être la structure de

cet investissement, quels sont les titres que l'on doit sélectionner et dans quelles proportions

? Pour cela, elle a mobilisé les ressources des mathématiques pour l'optimisation, de

l'informatique pour la mise en oeuvre, et surtout de la théorie des choix dans l'incertain

pour la formalisation économique.

Pourtant l'émergence d'un outil économique capable d'analyser les problèmes liés à

l'incertitude se fit avec difficulté. La théorie économique qui s'était progressivement développée

du XIX`eme siècle jusqu'à Value and Capital de John Hicks , était essentiellement

statique et supposait une information parfaite, une absence de risque. En dépit

des efforts de Bernouilli, les applications de la théorie des choix dans l'incertain à l'économie

furent très rares. Parmi elles, on peut relever la théorie d'Edgeworth sur

la couverture des dépôts bancaires.

Extraits

[...] Une autre conséquence théorique du théorème des deux fonds est de défnir très précisément les couples rendements - risques que l'on va atteindre par des stratégies optimales. du portefeuille risqué, et que l'excès de rendement (par rapport à l'actif certain) est Rp R0 = x0 R0 où Rp est le rendement espéré du portefeuille risqué, alors 31 r r et à la part x0 consacrée à l'investissement risqué ; à x0 Comme, en effet, l'écart-type du portefeuille est σp = x0 )σ r , où σ r est la variance p p ce dernier croît linéairement avec l'écart-type : Rp R0 Rp R0 = ( )σ p σr p r La droite ainsi définit constitue la droite de marché ; nécessairement pour être un ensemble de choix optimaux, elle doit être tangeant à la frontière des portefeuilles efficients comme l'illustre la figure Selon que le gérant de portefeuille est prudent ou risquophile son point d'équilibre sera sur la droite de marché plus ou moins proche du point R0 comme l'illustrent les points P et points atteints par des pondérations différentes de l'actif sans risque dans le portefeuille. [...]

[...] On peut aussi les mesurer en rapportant les montants de ces opérations à la richesse initiale. Ainsi, si Ia est le montant investi dans le titre a alors on notera xa le ratio obtenu en rapportant Ia à la richesse initiale : xa = Ia W Si l'agent investit dans le titre on a Ia > 0 et xa correspondra alors à la part de sa richesse qu'il investit dans le titre a. Les montants Ia et les parts xa sont évidemment soumis à la contrainte budgétaire et aux contraintes mises en place par les autorités de marché. [...]

[...] Ra µ. . RA R1 . 1 . Le vecteur colonne que multiplie x est évidemment la matrice des covariances. Le terme qui est facteur de λ est le vecteur-colonne des rendements R. Aussi le système des conditions de premier ordre définissant le portefeuille optimal est : σ.x = λ.R µ.1 où 1 est le vecteur colonne (à A lignes) dont toutes les composantes sont égales à 1. [...]

[...] Le portefeuille optimal est donc défini par la relation : x = λ(σ R R0 .σ Le portefeuille risqué n'est pas nécessairement un portefeuille complètement investi, i.e. vérifiant à lui seul la contrainte budgétaire. Le plus souvent en effet, comme on peut épargner ou s'endetter dans l'actif sans risque, on a : 1T x = 1 x0 1 effet, si l'on définit le vecteur colonne z par : alors celui-ci vérifie : 1T .z = 1T . x 1T x T 1 .x = 1T x = 1 x 1T x Cependant, on peut définir à partir de x un portefeuille risqué complètement investi. [...]

[...] En effet, dans un portefeuille ne comprenant 16 (et donc du point (400, il est possible dans un premier temps d'augmenter le initialement que des big values on substitue progressivement des small values plus rentables mais corrélées négativement. Par conséquent, les small values permettent de mieux couvrir le portefeuille et donc diminue sa volatilité. Lorsque α = 5/13, le portefeuille est complètement assuré : α= 5 σ 2 = rp = p 13 Si l'on continue à augmenter la part des small values, le portefeuille devient à nouveau risqué, et la relation entre rendement moyen et variance redevient positive. [...]